Tuesday, April 15, 2014

Mana Requirements for Gold Cards

Anyone having tried to cast Rakdos, Lord of Riots or other guild leaders in Return to Ravnica draft know that it is quite unlikely to be able to cast them on turn 4. Why (besides the Lord's additional restriction) is this?

In a 40-card draft deck with 17 basic lands, you are quite likely to only have 4 lands by turn 4. Assuming 4 lands, we need to turn to the hyper-geometry distribution to find out the likely-hood of having exactly two basics of type A and two of type B. Let #A = 9 and #B = 8:

chance_4 = H([9, 8], [2, 2]) = C(9, 2) C(8,2) / C(9+8, 2+2) = 42.35%

In other words, you are more likely to have the wrong colors. Even if you draw 5 lands by turn 4, you often fail to be able to cast your favorite guild leader:

chance_5 = H([9, 8], [2, 3]) + H([9, 8], [3, 2]) = 70.59%,

so three games out of ten you will fail. We call this condition "color-screw", i.e., you have enough lands to cast your spell, but they produce the wrong colors.

You might object and say that you would always draft dual-lands. How much better is the situation if we add lands capable of producing either mana? Again, turning to math, we will find [*]:

One dual land, L = [8,8,1], H(L, [2,2,0]) + H(L, [2,1,1]) + H(L, [1,2,1]) = 51.76%
Two dual lands, L = [8,7,2], H(L, [2,2,0]) + ... + H(L, [0, 2, 2]) = 59.71%
Three dual lands, L = [7,7,3], H(L, [2,2,0]) + ... + H(L, [0, 1, 3]) = 67.66%
Four dual lands, L = [7,6,4], H(L, [2,2,0]) + ... + H(L, [0, 0, 4]) = 73.95%

As you can see, even by drafting 4 red/black dual lands, there is still a significant chance (one out of four games), that we can't play the guild-leader. How many do we need to reach 90%, so that we are color-screwed only once every ten games? The answer is a whopping 8 duals (though 7 duals is close; 89.50%).

With 5 available lands, our chances improve somewhat:

0 duals = 70.59%
1 dual  = 77.83%
2 duals = 82.92%
3 duals = 88.01%
4 duals = 91.24%

By putting all of these calculations in a program, we can additionally take into account mulligans due to land-count problems, as well as the likelihoods of drawing exactly 4, 5, etc. lands by turn 4. We can also consider other spells, such as AB-spells (charms), 1AB-spells, nAAB-spells, and nAABB-spells. Combining all of this, we get the following table for hitting the 90% color success rate (top left indicates 17 lands in a 40-card deck, 0 out of the 17 are off-colored lands):

17/40(0)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    4    -    -    -    -    -    -    -
      AAB    5    3    1    -    -    -    -    -
     AAAB    5    3    2    -    -    -    -    -
     AABB    6    3    -    -    -    -    -    -
    AAAAB    4    3    1    1    -    -    -    -
    AAABB    6    3    1    -    -    -    -    -

Going back to our example (AABB), we see that 6 dual lands is required, which makes sense since drawing 4 or 5 lands by turn 4 is far more likely than drawing 6, 7, 8, 9 or 10 lands. (Remember, the 90% number assumes that you are not mana-screwed, i.e., you have at least 4 lands.) A card like Niv-Mizzet, Dracogenius costs 2AABB, requires no dual AB-lands, and Supreme Verdict costs 1AAB, requiring 3 dual lands.

Now, what happens if you have lands that can produce neither A nor B? Using charms as our example, we know from previous posts that to play a CC spell, we need 14 out of 17 sources of that color. Naturally, then, to play an AB spell, we need at least that many lands that produce either A or B. So, if we have 4 off-color sources, then we know that we can't reliably cast an AB spell, as seen below:

17/40(4)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   **    5    2    -    -    -    -    -
      AAB   **   **    3    2    -    -    -    -
     AAAB   **   **    5    2    2    -    -    -
     AABB   **   **    6    2    1    -    -    -
    AAAAB   **   **   **    2    1    1    1    -
    AAABB   **   **   **    3    2    -    -    -

Here, ** indicates that you we reach the limit -- with that many off AB lands, there is more than 10% chance that we will be color-screwed, no matter how many dual-lands we have.

So, let's present the tables:

40-card decks

17/40(0)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    4    -    -    -    -    -    -    -
      AAB    5    3    1    -    -    -    -    -
     AAAB    5    3    2    -    -    -    -    -
     AABB    6    3    -    -    -    -    -    -
    AAAAB    4    3    1    1    -    -    -    -
    AAABB    6    3    1    -    -    -    -    -


17/40(1)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    5    1    -    -    -    -    -    -
      AAB    7    3    2    -    -    -    -    -
     AAAB   10    3    2    1    1    -    -    -
     AABB   13    4    1    -    -    -    -    -
    AAAAB   **    3    2    2    -    -    -    -
    AAABB   **    4    2    -    -    -    -    -


17/40(2)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    6    3    -    -    -    -    -    -
      AAB   **    4    2    1    -    -    -    -
     AAAB   **    4    2    1    1    -    -    -
     AABB   **    6    2    -    -    -    -    -
    AAAAB   **    5    2    2    1    1    1    -
    AAABB   **    6    3    1    1    -    -    -


17/40(3)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    9    4    1    -    -    -    -    -
      AAB   **    6    3    1    -    -    -    -
     AAAB   **   **    3    1    1    -    -    -
     AABB   **   **    4    1    -    -    -    -
    AAAAB   **   **    3    2    1    1    1    -
    AAABB   **   **    4    2    1    -    -    -


17/40(4)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   **    5    2    -    -    -    -    -
      AAB   **   **    3    2    -    -    -    -
     AAAB   **   **    5    2    2    -    -    -
     AABB   **   **    6    2    1    -    -    -
    AAAAB   **   **   **    2    1    1    1    -
    AAABB   **   **   **    3    2    -    -    -

60-card deck

24/60(0)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    6    2    -    -    -    -    -    -
      AAB    7    4    1    -    -    -    -    -
     AAAB    8    4    2    1    -    -    -    -
     AABB    9    5    1    -    -    -    -    -
    AAAAB    7    3    2    1    1    -    -    -
    AAABB    8    5    2    -    -    -    -    -


24/60(1)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    7    3    -    -    -    -    -    -
      AAB   10    4    1    -    -    -    -    -
     AAAB   11    5    2    1    -    -    -    -
     AABB   13    6    2    -    -    -    -    -
    AAAAB   **    4    2    1    1    -    -    -
    AAABB   **    6    3    -    -    -    -    -


24/60(2)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    9    4    -    -    -    -    -    -
      AAB   14    5    2    -    -    -    -    -
     AAAB   **    6    3    1    -    -    -    -
     AABB   **    7    3    1    -    -    -    -
    AAAAB   **    6    3    1    1    -    -    -
    AAABB   **    8    4    1    -    -    -    -


24/60(3)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   11    5    1    -    -    -    -    -
      AAB   **    7    3    1    -    -    -    -
     AAAB   **    8    4    2    -    -    -    -
     AABB   **   10    4    2    -    -    -    -
    AAAAB   **   11    4    2    2    -    -    -
    AAABB   **   13    5    2    -    -    -    -


24/60(4)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   15    6    2    -    -    -    -    -
      AAB   **    9    4    1    -    -    -    -
     AAAB   **   **    5    2    1    1    -    -
     AABB   **   **    6    3    -    -    -    -
    AAAAB   **   **    5    3    2    1    1    1
    AAABB   **   **    7    3    1    -    -    -

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25/60(0)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    6    1    -    -    -    -    -    -
      AAB    8    3    1    -    -    -    -    -
     AAAB    8    4    2    -    -    -    -    -
     AABB    9    5    2    -    -    -    -    -
    AAAAB    7    4    2    2    1    1    -    -
    AAABB    9    5    2    -    -    -    -    -


25/60(1)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    7    2    -    -    -    -    -    -
      AAB   10    4    2    -    -    -    -    -
     AAAB   12    5    2    1    1    -    -    -
     AABB   13    6    3    -    -    -    -    -
    AAAAB   **    5    2    2    1    1    -    -
    AAABB   **    6    3    1    -    -    -    -


25/60(2)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    8    3    -    -    -    -    -    -
      AAB   13    6    3    -    -    -    -    -
     AAAB   **    6    3    1    1    -    -    -
     AABB   **    7    4    -    -    -    -    -
    AAAAB   **    6    3    2    1    1    -    -
    AAABB   **    8    4    2    -    -    -    -


25/60(3)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   10    5    1    -    -    -    -    -
      AAB   **    7    3    1    -    -    -    -
     AAAB   **    8    4    2    1    -    -    -
     AABB   **    9    5    1    -    -    -    -
    AAAAB   **   11    4    3    1    1    -    -
    AAABB   **   11    5    3    1    -    -    -


25/60(4)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   13    6    2    -    -    -    -    -
      AAB   **    8    4    2    -    -    -    -
     AAAB   **   13    5    3    2    -    -    -
     AABB   **   15    6    2    -    -    -    -
    AAAAB   **   **    5    3    2    2    -    -
    AAABB   **   **    7    3    2    -    -    -

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26/60(0)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    5    1    -    -    -    -    -    -
      AAB    7    4    1    -    -    -    -    -
     AAAB    8    4    2    1    -    -    -    -
     AABB    9    5    1    -    -    -    -    -
    AAAAB    7    4    3    2    -    -    -    -
    AAABB    9    5    2    -    -    -    -    -


26/60(1)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    7    2    -    -    -    -    -    -
      AAB    9    5    2    -    -    -    -    -
     AAAB   11    5    3    2    -    -    -    -
     AABB   12    6    2    -    -    -    -    -
    AAAAB   15    5    3    2    1    1    -    -
    AAABB   16    6    3    1    -    -    -    -


26/60(2)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB    8    3    -    -    -    -    -    -
      AAB   12    5    2    1    -    -    -    -
     AAAB   **    6    3    2    1    -    -    -
     AABB   **    7    3    1    -    -    -    -
    AAAAB   **    6    3    2    1    1    -    -
    AAABB   **    8    4    1    -    -    -    -


26/60(3)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   10    4    -    -    -    -    -    -
      AAB   **    6    3    1    -    -    -    -
     AAAB   **    8    4    2    1    -    -    -
     AABB   **    9    4    2    -    -    -    -
    AAAAB   **    9    4    2    1    1    -    -
    AAABB   **   11    5    2    -    -    -    -


26/60(4)    --    1    2    3    4    5    6    7
       AB   12    5    1    -    -    -    -    -
      AAB   **    8    4    2    -    -    -    -
     AAAB   **   11    5    3    1    -    -    -
     AABB   **   13    5    3    -    -    -    -
    AAAAB   **   **    5    3    1    1    -    -
    AAABB   **   **    6    3    1    -    -    -


Conclusion

What can we conclude from these? 

The first is that in constructed, that being able to cast charms on turn 2 is hard, requiring 12-16 dual lands with just 4 off-colored lands. The same goes for 1AAB spells (like e.g. Supreme Verdict), requiring 8 dual lands. 1AB spells, however are not that hard to cast, often requiring only 4 dual lands. 

In sealed and draft, it tells us that AB spells (charms) are quite hard to cast on turn 2 due to the unlikely hood of having dual-lands. 1AB spells are okay if you have two dual lands, while 2AB spells require none. Finally that AABB and 1AABB are near impossible to cast on time, so they should be avoided.


[*] For the mathematically inclined, the sum is:

SUM_(a, b, d) H(L, [a,b,d]), where (a,b,d) is all combinations such that we can cast AABB, i.e.: a + b + d = 4, d >= 2 or else a+d >= 2 and b+d >= 2.